Các em học sinh lớp 8 hẳn đang trong quá trình học các kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử? Đây là một kiến thức không thể thiếu trong chương trình học và bắt buộc các em phải nắm được kiến thức cũng như áp dụng thực hành tốt. Cùng Toppy ôn lại kiến thức này nhé.
Bạn đang xem: Các cách phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?
Đây là một khái niệm các em sẽ được học trong chương trình toán học lớp 8. Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 chính là dùng các phương pháp để biến đổi đa thức thành tích của những đa thức. Như vậy, có thể thấy, vai trò của phân tích đa thức thành tử có vai trò rất nhiều trong việc rút gọn biểu thức cũng như giúp người làm tính toán nhanh, giải phương trình một cách dễ dàng và thuận lợi.
Chính vì thế, việc nắm được các phương pháp giải bài tập này sẽ giúp cho các em có thể linh hoạt trong giải các bài toán khác nhau, đồng thời tìm kiếm đáp án nhanh và chính xác nhất.
8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Trong toán 8 phân tích đa thức thành nhân tử, có 8 phương pháp khác nhau mà các em hoàn toàn áp dụng được. Cùng tìm hiểu từng phương pháp nhé.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp đầu tiên các em cần phải nhớ chính là phương pháp đặt nhân tử chung. Phương pháp thực hiện của bài toán này chính là tìm nhân tử chung của những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử bài toán đưa ra. Sau đó, phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. Nhân tử chung được đặt ra ngoài dấu ngoặc, bên trong dấu ngoặc là các nhân tử còn lại cùng phép tính đi cùng.
Để dễ hiểu, chúng ta có công thức sau:
A.B + C.B – B.Q=B.(A + C-Q)
Lấy ví dụ, phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
28a2b2 – 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab – 3b + 2a)
Như vậy, mấu chốt của bài toán này chính là chúng ta phải đưa biểu thức đã cho về dạng tích của nhiều đa thức, tìm được nhân tử chung của chúng.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp thực hiện với các bài này chính là dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Việc vận dụng hằng đẳng thức là bắt buộc ở trong các bài toán dạng này. Các công thức hằng đẳng thức các em đã được học ở bài trước và áp dụng vào bài này nhé.
Lấy ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử cho phép tính: 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Phương pháp thứ ba mà Toppy sẽ giới thiệu với các em chính là phương pháp nhóm hạng tử. Phương pháp này sẽ nhóm từng hạng tử thích hợp theo từng nhóm, sau đó áp dụng liên tiếp phương pháp dùng hằng đẳng thức hoặc phương pháp đặt nhân tử chung.
Ví dụ về phương pháp nhóm hạng tử
Đây cũng được xem là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp khác nhau khi thực hiện.
Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
Đây cũng là phương pháp được áp dụng trong phân tích đa thức thành nhân tử. Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó thành 2 hay nhiều hạng tử thích hợp. Mục đích là làm xuất hiện những nhóm hạng tử và tiếp tục sử dụng các phương pháp khác để giải bài toán.
Phương pháp này yêu cầu người học phải nhìn ra được hạng tử cần tách, sau đó mới có thể áp dụng được vào bài.
Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Phương pháp thực hiện của phương pháp này chính là có thể thêm hoặc bớt một hạng tử nào đó của đa thức để đưa nó về nhóm hạng tử mà áp dụng được các phương pháp trước, có thể là dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung…
Bài tập ví dụ về phương pháp thêm bớt một hạng tử
Phương pháp đặt biến phụ
3 phương pháp cuối là 3 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao. Trong một số bài toán, để phân tích đa thức thành nhân tử một cách thuận lợi, chúng ta cần đặt biến phụ (ẩn phụ) thích hợp. Phương pháp thực hiện của phép phân tích này chính là đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản như ở trên.
Phương pháp xét giá trị riêng
Để làm theo phương pháp này, chúng ta cần xác định các nhân tử chứa biến của đa thức, sau đó gán cho các biến những giá trị cụ thể để từ đó xác định các nhân tử còn lại.
Phương pháp hệ số bất định
Đây là phương pháp cuối cùng Toppy muốn giới thiệu tới các em. Phương pháp này được thực hiện bằng việc phân tích đa thức thành tích của hai đa thức bậc nhất và bậc hai, hoặc một đa thức bậc hai dạng ( a + b)( cx2 + dx +m), sau đó, biến đổi đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
Tóm lại, có rất nhiều cách phân tích đa thức thành nhân tử khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao. Một mẹo dành cho các em là học tốt các kiến thức cơ bản đã, bởi đây là nền tảng để các em giải các bài phanat ích nâng cao hơn. Chúc các em thành công!
Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy
Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.
Kho học liệu khổng lồ
Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo (Mock Test) có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.
Học online cùng Toppy
Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả
Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!
Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất
Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập (tốc độ, điểm số) trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.
Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập
Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành dạng tích của nhiều đa thức. Đây là một kĩ thuật cực kì hữu ích giúp bạn làm nhanh các bài toán rút gọn phân thức sau này.
Vậy có những cách phân tích đa thức thành nhân tử nào?
Hãy cùng tìm hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hay dùng như:
đặt nhân tử chungnhóm hạng tửdùng hằng đẳng thứcphối hợp nhiều phương pháptách hạng tửđổi biến
1-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử4-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp5-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử6-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Cách làm:
A.B + A.C = A(B + C)Như vậy, cách làm trên chính là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Mẹo phân tích đa thức thành nhân tử đầu tiên chính là xem có nhân tử chung nào hay không hoặc có thể tạo ra nhân tử chung không.
Video bài giảng:
Phân tích đa thức 15x³ − 5x² + 10x thành nhân tử.
Giải:
Ta nhận thấy ba đơn thức thành phần có điểm chung là đều chứa 5x. Vậy ta đặt 5x làm nhân tử chung.
Ta có: 15x³ − 5x² + 10x = 5x.3x² − 5x.x + 5x.2 = 5x(3x² − x + 2)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x² − x = x(x − 1)
b) 5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y)
Ta đặt x − 2y là nhân tử chung.
5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y) = (x − 2y)(5x² − 15x)
c) 3(x − y) − 5x(y − x)
Chú ý: tính chất A = −(−A)
Ta thấy có x − y và y − x, muốn có chung nhân tử x − y ta làm như sau:
3(x − y) − 5x(y − x) = 3(x − y) + 5xy(x − y) = (x − y)(3 + 5xy)
Tìm x sao cho 3x² − 6x = 0.
Giải:
Đầu tiên ta phân tích đa thức thành nhân tử:
3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0
Tích trên bằng 0 khi một trong các nhân tử bằng 0.
Ta có x = 0 hoặc x − 2 = 0.
Vậy x = 0 hoặc x = 2.
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Bài 39.Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 3x − 6y = 3(x − 2y);
b)
c) 14x² − 21xy² + 28x²y² = 7x(2x − 3y² + 4xy²)
d)
e) 10x(x − y) − 8y(y − x) = 10x(x − y) + 8y(x − y) = 2(x − y)(5x + 4y)
Bài 40.Tính giá trị của biểu thức:
a) 15. 91,5 + 150.0,85 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100= 1500
b) x(x − 1) − y(1 − x) tại x = 2001 và y = 1999.
Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:
x(x − 1) − y(1 − x)
= x(x − 1) + y(x − 1)
= (x − 1)(x + y)
= (2001 − 1)(2001 + 1999)
= 2000.4000 = 8000000
Bài 41.Tìm x, biết:
a) 5x(x − 2000) − x + 2000 = 0
Đầu tiên ta phải phân tích đa thức thành nhân tử,. Vì chưa có nhân tử chung, ta phải làm xuất hiện nhân tử chung.
5x(x − 2000) − x + 2000
= 5x(x − 2000) − (x − 2000)
= (x − 2000)(5x − 1) = 0
⇔ x = 2000 hoặc 5x − 1 = 0
⇔ x = 2000 hoặc x = 1/5
b) x³ − 13x = 0
⇔ x(x² − 13) = 0
⇔ x = 0 hoặc x² = 13
⇔ x = 0 hoặc x = ±√13
Bài 42.Chứng minh rằng
Giải:
Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:
=55^n.54\vdots&space;54)
2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Cách làm:
Dùng những hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi đa thức về dạng tích nhiều đa thức.
Vậy để sử dụng phương pháp này để phân tích đa thức thành nhân tử, ta phải thuộc những hằng đằng thức đáng nhớ và nhận ra dạng của nó.
(A + B)² = A² + 2AB + B²
(A − B)² = A² − 2AB + B²
A² − B² = (A − B)(A + B)
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
(A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³
A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)
A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x² − 4x + 4 = x² − 2.2x + 2² = (x − 2)²
b) x² − 4x + 4 − y² = (x − 2)² − y² = (x − 2 − y)(x − 2 + y)
c) 1 − 8x³ = 1³ − (2x)³ = (1 − 2x)(1 + 2x + 4x²).
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ + 3x² + 3x + 1
Ta nhận ra đa thức trên có dạng lập phương của một tổng nên ta có:
x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³
b) Tính nhanh: 105² − 25
Ta nhận thấy đa thức trên có dạng A² − B² nên ta có:
105² − 25 = 105² − 5² = (105 − 5)(105 + 5) = 100.110 = 11000
Chứng minh rằng (2n + 5)² − 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.
Giải:
Muốn chứng minh một đa thức chia hết cho một số nào đó, ta chỉ cần phân tích đa thức thành nhân tử và chỉ ra số đó là một nhân tử của đa thức.
Ta thấy đa thức trên có dạng A² − B² nên ta dùng hằng đẳng thức A² − B² = (A − B)(A + B) để phân tích đa thức thành nhân tử:
(2n + 5)² − 25 = (2n + 5)² − 5²
= (2n + 5 − 5)(2n + 5 + 5)
= 2n(2n + 10)
= 4n(n + 5)
Vì thế (2n + 5)² − 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.
Video bài giảng:
Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Bài 43.Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x² + 6x + 9
Ta nhận ra dạng x² + 2x.3 + 3² đúng không.
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
b) 10x − 25 − x²
Có thể nhận ra dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu nếu ta viết lại đa thức:
10x − 25 − x²
= − (x² − 10x + 25)
= − (x − 5)²
Các em có nhận ra dạng A³ − B³ không?
Các em có thấy đa thức dạng A² − B² không?
Phân tích đa thức thành nhân tử:
= <(a + b)² + (a + b)(a − b) + (a − b)²>
= 2b(a²+ 2ab + b² + a² − b² + a² − 2ab + b²)
= 2b(3a² + b²)
c) (a + b)³ + (a − b)³
= <(a + b)² − (a + b)(a − b) + (a − b)²>
= 2a
= 2a(a²+ 3b²)
= (2x + y)³
e) −x³ + 9x² − 27x + 27
= − (x − 3)³
Bài 45.Tìm x, biết:
a) 2 − 25x² = 0
Đầu tiên ta phải phân tích đa thức thành nhân tử, dựa vào hằng đẳng thức
A² − B² = (A − B)(A + B)
2 − 25x² = 0
⇔ (√2 − 5x)(√2 + 5x) = 0
⇔ √2 − 5x = 0 hoặc √2 + 5x = 0
Nếu √2 − 5x = 0 ⇔ x = √2/5.
Nếu √2 + 5x = 0 ⇔ x = – √2/5.
Ta phân tích đa thức thành nhân tử theo hằng đẳng thức (A − B)² = A² − 2AB + B².
Xem thêm:
Tính nhanh:
a) 73² − 27² = (73 − 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600
b) 37² − 13² = (37 − 13)(37 + 13) = 24. 50 = 1200
c) 2002² − 2² = (2002 − 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000
3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Cách làm:
Khi phân tích một đa thức thành nhân tử mà không thấy nhân tử chung hay không có dạng hằng đẳng thức nào đã học, ta cần một phương pháp khác.
Mục đích: Đó là làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung, là làm thế nào để xuất hiện hằng đẳng thức